Запишите в виде несократимой дроби 31 5

Представление рациональных чисел десятичными дробями. Десятичной дробью называется дробь, у которой знаменатель представляет собой натуральную степень числа 10. Такой, например, является дробь Эту дробь можно записать в следующей форме: выписать в строку цифры числителя и отделить запятой справа столько из них, сколько нулей содержится в знаменателе, а именно: В такой записи цифры, стоящие слева от запятой, образуют целую часть, а цифры, стоящие справа от запятой, — дробную часть данной десятичной дроби. Из арифметики хорошо известен процесс деления, позволяющий представлять число в виде десятичной дроби. Сущность процесса деления состоит в том, что сначала находят, какое наибольшее целое число раз q содержится в p; если p — кратное q, то на этом процесс деления и заканчивается. В противном случае, появляется остаток. Далее находят, сколько в этом остатке содержится десятых долей q, и на этом шаге процесс может закончиться, либо появится новый остаток. В последнем случае находят, сколько в нем содержится сотых долей q, и т. Если знаменатель q не имеет никаких других простых делителей, кроме 2 или 5, то через конечное число шагов остаток окажется равным нулю, процесс деления закончится и данная обыкновенная дробь обратится в конечную десятичную дробь. В самом деле, в указанном случае всегда можно подобрать такое целое число, что после умножения на него числителя и знаменателя данной дроби получится равная ей дробь, у которой знаменатель будет представлять натуральную степень десяти. Такой, например, является дробь которую можно представить так: Однако, не производя этих преобразований, разделив числитель на знаменатель, читатель получит тот же результат: Если знаменатель несократимой дроби имеет по меньшей мере один простой делитель, отличный от 2 или 5, то процесс деления на q не закончится никогда никакой из очередных остатков в нуль не обратится. Пример: Выполнив деление, найдем Для записи результата, получаемого в этом примере, периодически повторяющиеся цифры 0 и 6 заключают в круглые скобки и пишут: В этом примере и в других подобных случаях действие деления не приводит к окончательному результату в виде десятичной дроби. Чтобы уяснить причину явления периодичности дроби, разберем, например, процесс деления на 7. Если деление нацело не выполняется, то появляется остаток, который может иметь только одно из следующих значений: 1, 2, 3, 4, 5, 6. И на каждом из следующих шагов остаток будет иметь снова одно из этих шести значений. Поэтому не позднее чем на седьмом шаге мы неизбежно встретимся с одним из значений остатка, которые раньше уже появлялись, Начиная с этого места, процесс деления приобретет периодический характер. Периодически будут повторяться и значения остатков, и цифры частного. Такое рассуждение применимо и в случае любого другого делителя. Таким образом, всякая обыкновенная дробь представляется конечной или бесконечной периодической десятичной дробью. Замечательно, что и, обратно, всякая периодическая десятичная дробь представима в виде обыкновенной дроби. Покажем, как выполняется это действие. При этом используется формула суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии п. Запись можно понимать так: здесь члены правой части, начиная со второго, образуют бесконечную геометрическую прогрессию со знаменателем и первым членом Пользуясь формулой 92. Впрочем, здесь имеется одно исключение. Поэтому мы отождествляем такие пары чисел, как, например, Иногда полезно еще допускать записи вида представляя формально конечные десятичные дроби как бесконечные с периодом 0. Все сказанное об обращении обыкновенной дроби в десятичную периодическую дробь и обратно относилось к положительным рациональным числам. В случае отрицательного числа можно поступить двояким образом. Например: Для записи чисел, представленных в виде суммы своей отрицательной целой части и конечной или бесконечной десятичной дроби, принято такое обозначение искусственная форма записи отрицательного числа : Здесь знак минус ставится не перед всей дробью, а над ее целой частью, чтобы подчеркнуть, что только целая часть отрицательна, а следующая за запятой дробная часть положительна. Такая запись создает единообразие в записи положительных и отрицательных десятичных дробей и будет использована в будущем в теории десятичных логарифмов п. Предлагаем читателю для практики проверить переход от одной записи к другой в примерах: Теперь уже можно сформулировать окончательный вывод: всякое рациональное число может быть представлено бесконечной десятичной периодической дробью, и, обратно, всякая такая дробь задает рациональное число. Конечная десятичная дробь допускает акже две формы записи в виде бесконечной десятичной дроби: с периодом 0 и с периодом 9. АРИФМЕТИКА, АЛГЕБРА И ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ ФУНКЦИИ 5. Представление рациональных чисел десятичными дробями. Степени и корни § 3. Комплексные числа Глава II. ТОЖДЕСТВЕННЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 2. Иррациональные алгебраические выражения Глава III. Десятичные логарифмы Глава IV. ФУНКЦИИ И ГРАФИКИ § 2. Элементарные функции § 3. Преобразование графиков § 4. Некоторые сведения о рациональных функциях Глава Алгебраические уравнения с одной неизвестной § 3. Системы алгебраических уравнений § 4. Иррациональные, показательные и логарифмические уравнения Глава VI. Решение неравенств Глава VII. Арифметическая прогрессия § 3. Геометрическая прогрессия Глава VIII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ УГЛА ДУГИ § 2. Тригонометрические функции произвольного угла § 3. Соотношения между тригонометрическими функциями одного и того же угла § 4. Четность, нечетность и периодичность тригонометрических функций § 5. Формулы приведения Глава IX. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ЧИСЛОВОГО АРГУМЕНТА И ИХ ГРАФИКИ § 2. Графики тригонометрических функций Глава ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ ВЫРАЖЕНИЙ § 2. Формулы для двойного и половинного аргумента. Выражение sin na и cos na через степени sin a и cos a § 5. Преобразование некоторых выражений в произведения с помощью введения вспомогательного аргумента Глава XI. ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ И ИХ ГРАФИКИ § 2. Операции над обратными тригонометрическими функциями § 3. Обратные тригонометрические операции над тригонометрическими функциями Глава XII. ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА § 3. Некоторые частные приемы решения тригонометрических уравнений и систем § 4. Решение тригонометрических неравенств Часть вторая. Измерение геометрических величин Глава XIV. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ И ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ. ЗАДАЧИ НА ПОСТРОЕНИЕ § 2. ТРЕУГОЛЬНИКИ, ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИКИ § 2. Площади треугольников и четырехугольников Глава XVI. ПОДОБИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ФИГУР § 2. Подобное преобразование фигур гомотетия § 3. Общее подобное соответствие фигур Глава XVII. МЕТРИЧЕСКИЕ СООТНОШЕНИЯ В ТРЕУГОЛЬНИКЕ И КРУГЕ § 2. Метрические соотношения в треугольнике § 3. Решение треугольников Глава XVIII. ДЛИНА окружности И ПЛОЩАДЬ КРУГА § 2. Площадь круга и его частей Глава XIX. ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ § 2. Перпендикулярность прямых и плоскостей § 3. Двугранные и многогранные углы § 4. МНОГОГРАННИКИ И КРУГЛЫЕ ТЕЛА § 2. Шар © Научная библиотека Копирование информации со страницы разрешается только с указанием ссылки на данный сайт.